Kitartó kommentelőimnek, szeretettel
„A végtelen aktualitása
A végtelen tizedestörtekkel való számolás definíciója felveti a végtelen aktualitásának kérdését. Ez egy bonyolult metamatematikai kérdés, ami azt feszegeti, hogy a végtelen sok lépésben megkonstruált matematikai objektumok valóban létezőknek tekinthetők-e, vagy csak a konstrukciójuk létezik. Általában az axiómák aktuálisnak veszik a végtelent, de vannak alternatív matematikai rendszerek, amik másként állnak ehhez a kérdéshez. Azonban, amennyiben nem tekintjük aktuálisnak a végtelent, nemcsak hogy nem aktuálisak a műveletek, hanem maguk a végtelen tizedestörtek sem azok." Forrás: https://hu.wikipedia.org/wiki/Tizedestört#A_v.C3.A9gtelen_aktualit.C3.A1sa
Elöljáróban leszögezem, hogy írásom inkább intuitív problémafelvetés, mint módszeres problémamegoldás. Nem lennék képes a bevezető idézetben említett alternatív matematikai rendszer megalkotására, de a számkoncepció alapjairól elgondolkodva képes vagyok jelezni a következő ellentmondást. Jó ideje tudjuk, hogy a szín nem a tárgyak elsődleges tulajdonsága. Amennyiben a Higgs-bozon néven számon tartott jelenségkör adatait sikerül feldolgozni, hamarosan kiderülhet, hogy a tömeg sem elsődleges tulajdonsága az anyagnak. Miért gondolnánk akkor, hogy a számosság elválaszthatatlan a valóságtól? Miért beszélnénk „irracionális számok halmazáról" úgy, mint ha nem a fejünkben, hanem a csillagközi térben várná valahol, hogy szemügyre vegyük és leltározzuk a tagjait? Több száz éve tudjuk, hogy a számok a gondolkodásunk termékei, és nem tőlünk függetlenül létező objektumok. Ideje ezt a réges régi ismeretet átvezetni a köztudatba, és megfelelő módon korszerűsíteni a matematikáról mint az agyunk termékéről való gondolkodásunkat.
Hogyan keletkeznek a fejünkben a számok? Kant megállapítása, hogy egyes dolgokat bizonyítás nélkül nyilvánvalóként, azaz a priori elfogadunk. Ilyen a priori belátás, hogy 1+1=2. Ha az agyunk másképp működne, és nem látnánk be ezt a priori alapon, akkor semmiféle módon nem tudnánk bebizonyítani. A valóságban nincs két olyan tárgy, amely azonosnak tekinthető. A különbségektől való szándékos elvonatkoztatás nélkül nem találunk két olyan valamit, amelyre igaz lenne, hogy 1+1=2. A különbségektől való szándékos elvonatkoztatás képessége többé-kevésbé minden emberre jellemző, így strukturáljuk a valóságot. Számok azért keletkeznek, mert akarjuk, hogy legyenek. A számkoncepcióink azért működnek, mert akarjuk, hogy működjenek. A közös a priori agyi struktúráink hasonlóan gondolkodóvá tesznek bennünket, de nem adnak végső érvényt a belátásainknak. Aki biológiailag képes színeket érzékelni, nyilvánvalóként belátja, hogy a tárgyak különböző színűek, ám ettől még nem válik végső igazsággá, hogy a tárgyak különböző színűek. Az 1+1=2 a priori elfogadása nem teszi végső igazsággá, hogy a tárgyak számossággal rendelkeznek, illetve hogy közöttük logikai összefüggések lennének. Sőt a gondolkodásunkra reflektálva könnyen beláthatjuk, hogy valójában az agyunk tulajdonít számosságot a tárgyaknak, a gondolkodásunk vetít logikai összefüggéseket a strukturálatlan valóságra.
Szóhasználati kérdés, hogy mit tekintünk számnak. A klasszikus görög felfogásból ihletet merítve javaslom, hogy számnak kizárólag a nullánál nagyobb pozitív egész számokat tekintsük. Azokat tudjuk ugyanis közvetlenül alkalmazni almára, birkára, korsó serre. A többi „szám"-hoz már lábjegyzetet kell fűznünk, az alábbiak szerint.
1. Negatív „számok": értelmezést igényelnek. -1000 jelentheti azt, hogy ennyivel tartozom a banknak, viszont pozitívan is kifejezhető úgy, hogy 1000-et követel tőlem a bank. -1000 ugyancsak jelentheti, hogy ennyit vonok le majd egy jövőbeni számból, ha az legalább 1000.
2. Nulla: a semmi megfelelője, szokatlanul viselkedő fogalom, sokáig nem is tekintették számnak. Nem nyilvánvaló a vele való szorzás és hatványozás eredménye, osztani pedig nem lehet vele, illetve nem értelmezzük ezt a lehetőséget, mert belső ellentmondáshoz vezet.
3. Természetes törtek (pl. 3/7): valójában egy tárolt eljárásról van szó, a műveletet nem végezzük el előre, hanem megmondjuk, hogyan fogjuk elvégezni akkor, amikor a törtet alkalmazni próbáljuk. A hét napjaira például könnyedén alkalmazhatjuk ezt a természetes törtet, a hét háromhetede pontosan 3 nap. Egy autóra már nehezebben tudjuk alkalmazni, például az alkatrészeinek értéke/tömege/térfogata szerint próbálkozhatunk vele.
4. Tizedes törtek (pl. 2,18): szintén tárolt eljárás, tízes számrendszerbe tartozó nevezővel, amely leírja, hogy milyen műveletet végzünk majd el az alkalmazás pillanatában, ha az alkalmazás tárgya ezt lehetővé teszi. A pénzre például kiválóan alkalmazhatók a tizedes törtek, a pénzegységek és váltópénzek úgy vannak kitalálva, hogy könnyű legyen rajtuk tizes számrendszerbeli számokkal műveleteket végezni.
5. Végtelen szakaszos tizedes törtek (pl. 0,428571428571...): mindig felírhatók természetes törtként. A 3/7 például azért tűnik végtelen tizedes törtnek, mert 10 nem osztható 7-tel. Ne akarjuk elosztani csak azért, hogy véges tört helyett egy végtelent kapjunk. Fontoljuk meg, hogy egyes véges tizedes törtek is átírhatók lennének végtelen törtté mondjuk a hármas, hetes vagy kilences számrendszerben, ha ily módon szeretnénk magunknak fejfájást okozni.
6. Nem szakaszos végtelen tizedes törtek (pl. négyzetgyök 2, pi): ezek a számítás módszere miatt végtelen hosszúak és folyton változó számjegyűek. A négyzetgyök 2 egy fogalom, amely nem írható le véges számú számjeggyel, ám a gyakorlatban sokféle haszna van, ezért tartjuk nyilván, ezért alkalmazzuk. Jobban belegondolva, nincs okunk adottnak tekinteni, hogy amennyiben 9-nek van számjegyekkel leírható négyzetgyöke, akkor minden számnak, így a 2-nek is kell, hogy legyen számként kezelendő négyzetgyöke. Valójában akkor lenne okunk erről így gondolkodni, ha bármilyen szám négyzetgyökét pontosan le tudnánk írni véges számjegyek formájában. A pi (π) nevű fogalom pedig azért áll nem szakaszosan változó számjegyekből, mert a kör háromszögesítésével / négyszögesítésével / sokszögesítésével számítjuk, és az egyre kisebb síkidomok használata eredményezi a nem szakaszos végtelen számsort. Ám belátható, hogy a kört nem lehet kirakni egyenes oldalú síkidomokból, így ezzel a módszerrel megközelíthetjük, de sosem érhetjük el a pi értékét. A pi-nek szintén sokféle gyakorlati haszna van, ezért használjuk a helyzetfüggő hosszúságú közelítő értékeit.
Ez a gondolatmenet nem érvényteleníti a matematika gyakorlati hasznossággal bíró rendszerét, mindössze rálátást ad a számokról való gondolkodásunkra. Régi példával: nem kell cipésznek lennem ahhoz, hogy véleményezzem a lábamon lévő cipőt. Nem szükséges a gojzervarrás okleveles szakértőjévé válnom ahhoz, hogy a cipő funkciójáról elmélkedve megállapítsam: a cipő értelme, hogy kényelmesen tudjunk benne járni. Érdemes felfigyelni arra, hogy a valóság számosságára nincs bizonyítékunk, sőt alaposan megfontolva a számkoncepciót, minden adatunk az ellenkezőjére mutat. Számok, számféle fogalmak, összefüggések csak a fejünkben léteznek, a valóság elsődleges tulajdonságának vélt struktúrát és összefüggésrendszert valójában mi, földi jólétre törekvő homo sapiensek látjuk bele akaratlagosan a világba.
"Nem szükséges a gojzervarrás okleveles szakértőjévé válnom ahhoz, hogy a cipő funkciójáról elmélkedve megállapítsam: a cipő értelme, hogy kényelmesen tudjunk benne járni." -- Kover Laszlo-i magassagokat surol a megjegyzesed: vilagosan kiderul belole, hogy eletedben nem beszeltel cipokrol balozo nokkel.
VálaszTörlésKerekesszekes emberek? Akik nem jarnak, de embernek erzik magukat a csini cipoktol?
Melosok, akik a fembetettel a testi epseguket ovjak?
Erre azt fogod mondani, hogy formalis logikaval kotok bele az okos uzenetedbe -- de valojaban nem arrol van szo, hogy az atlagolvaso kedveert egyszerusitesz, hanem arrol, hogy a sajat partikularis vilaglatasodat tartod mervadonak.
Es ez meg nem a matematikarol szol, amelyhez bevallottan nem ertesz elegge.
A matematikatortenet rengeteg "ertelmetlen" reszteruletet dolgozott ki, amelyrol kesobb derult ki, hogy kifejezetten jol hasznalhato a gyakorlati eletben ennek vagy annak a modellezesere (ilyenek a sokdimenzios terek, amelyekrol a magadfajta cipohordo civilek magabiztosan tudjak, hogy "nem letesznek"). Nagyobb bunt nem lehet elkovetni a gondolkodas elen, mint hogy hasznossagi, funkcionalis szempontbol elismered azt, ami MAR hasznos, es nevetsegesse teszed azt, ami MEG nem hasznos (vagy aminek a hasznossagat NEM ERTED). Az ember ugyanis haszontalan dolgokon tanul; ha vettel mar reszt gyerek neveleseben, ezt tudod.
Köszönöm az észrevételt. Szerinted van valami köze a poszthoz?
TörlésHa szerinted nincs, akkor nagy baj van. (1) Nem szükséges értened a területhez, amelyről véleményt alkotsz, mondod, de enélkül is meg tudod állapítani, minek mi az értelme. (2) A példádból kiderül, hogy a dolgok értelmének megállapításakor a megállapításod partikuláris (jóléti társadalomban élő átlagos férfi nézőpontja, figyelmen kívül hagyva a népesség kb. felének szempontjait), még csak nem is törekszik semmiféle árnyaltságra, kiegyensúlyozottságra, a jóléti hivatkozásaid ellenére a társadalom kevesebb mint felének felfogását tekinted normának.
TörlésEzzel szemben koherensnek, társadalomjavítónak, gondolkodónak tartod magad. Amihez viszont több nézőpont integrálására lenne szükség (amire ha képes lennél, nem ajánlanál a melegeknek heteró monogámiát).
De ha szeretnéd, azt is megírom, miért abszurd, hogy az 1 mint szám "valóságosságát" nem vonod kétségbe, miközben az 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... végtelen sorozat elemeinek összeadása ugyanúgy végtelen lépésben oldható csak meg, mint a pí vagy a négyzetgyök kettő számjegyeinek kiszámítása. (Ezt most nem fogod érteni, de ha érdekel, megírom.)
TörlésEzt a megjegyzést eltávolította a szerző.
TörlésHa lejátszol egy glisszandót egy nagybőgőn, analóg hangsort kapsz. Kottázd le! Az egész- és félhangok menni fognak (bár el kell döntened, a modern 440-es A-t veszed alapnak vagy Mozart korának valamelyik alternatív A-ját). -- Eddig világos? Értesz a zenéhez annyira nem, mint amennyire a matekhoz nem értesz? OK. A többi hangot törtekkel,mracionális számokkal le tudod írni, de lyukak támadnak. Leibnizre hivatkoztál, de ha ismernéd, tudnád, hogy a folytonosság elve alapján kimondta, hogy nem maradhatnak ki hangok, illetve nem lehet olyan hang, amelyet nem tudunk leírni racionális számmal, ezért kerekítjük. Téged zavar a digitalitás, mert -- digitus -- az ujjadon számolsz.
TörlésHa megértetted volna a posztban foglaltakat, feltűnt volna, hogy a valóságnak elsődleges tulajdonságként tulajdonított számosságot vitatja. Azaz: nem szilárd feltevés, hogy egy logikai összefüggést pontosan le tudunk írni számsorként. Ha jól értelek, magad is ezt adatolod Leibnizre hivatkozva, csak közben – tévesen – úgy véled, hogy vitatkozol a poszttal.
TörlésKérlek, olvasd el még kétszer-háromszor figyelmesen, és csak azzal vitatkozz belőle, amit nem írsz le aztán ugyanúgy, csak más szavakkal. Figyelj a differencia specifikumokra, azaz arra, hogy pontosan miben tér el az álláspontod.
Na jó. Maradjunk a common sense-nél. Minek nevezzük a négyzetgyök kettőt, a pít és a többi kiemelt és nem kiemelt irracionális számot "szám" helyett, és mit vársz ettől a terminológiai változástól? Várom a farbát.
TörlésMivel koherens gondolkodó vagy, a válaszod úgy fogalmazd meg, hogy értelmezhető legyen az is, hogy mit (milyen frekvenciájú) hangot nevezünk hangnak, milyet nem, és mit várunk ettől a terminológiai változtatástól.
A pi és a gyök 2 számjellegű fogalom – mondanám én. Látszólag nem forradalmi változás.
TörlésA terminológiai korszerűsítéstől olyan szemléletváltást várhatunk, mint ami a „tárgyaknak nem elsődleges tulajdonság a színük" kijelentéstől következett be. Ennek nyomán elkezdtük vizsgálni a fényt.
Az „a valóságnak nem elsődleges tulajdonsága a számosság" felismerés nyomán elkezdhetjük vizsgálni a saját gondolkodásunk belső struktúráit. Nem új az ötlet, nem is az enyém: Kant jött rá, hogy a „metafizika" az agyunk szerkezete, amelyet sokáig a világba kivetítve akartunk modellezni. Ideje komolyan vennünk, hogy a metafizika a fejünkben van.
Lehet benne valami...
TörlésA nyelvészet mai állása szerint a nyelv alapvető struktúrái a priori belénk vannak kódolva. Elképzelhető, hogy a számfogalom is ebbe a körbe tartozik. A metafizika ... nem tudom. Logikusnak tűnik azt is ide sorolni, de a világ nem mindig logikus.
Ez valóban nagyjából így van, csak aki foglalkozott matekkal, az erre gimiben, de legkésőbb egyetem elején rájött, Kanttal együtt, metafizikával együtt, és nem most posztol róla.
TörlésA kör kerületének és átmérőjének aránya pí, ami nem szám, hanem számjellegű fogalom.
A szám is fogalom.
Annyira mem forradalmi, hogy a tény, hogy most, ötven fele emlegeted, furcsa, mert ez tizennyolc évesek ismeretanyaga. Igaz, én jó suliba jártam.
De aki a kör sugarának vastagságával birkózik, az ezen nem rágta át magát legföljebb huszas évei elején.
Ha viszont a metafizika a fejünkben van, akkor ugye nem csak a pí számszerű fogalom, hanem valószínűleg Isten (az istenek) is a fejünkben van(nak). Azaz nem lenne meglepetés, ha csak ezért létezne istenfogalom: mert alany kell az olyan események elé is, amelyeket nem az ember csinál/okoz/működtet.
TörlésLenne egy kérdésem. Ki tulajdonít számosságot a valóságnak az Általad kritizált értelemben?
TörlésAmíg gondolkodsz: "-1000 ugyancsak jelentheti, hogy ennyit vonok le majd egy jövőbeni számból, ha az legalább 1000." -- Nem kell a jövőbeni számnak legalább 1000-nek lennie. Ha 800-ból vonsz le 1000-et (-1000) majd T1 időben, az eredmény -200, ami azt jelenti, hogy T2 időben majd még le fogsz vonni 200-at egy következő számbó. Ezt mindenki érti, aki fizetett már részletre.
TörlésPersze, ettől még a posztod "tartalmára" kell fizetnem, de az átlagolvasónak szánt magyarázatod itt hibás volt, ami valahol probléma.
Attila:
TörlésAzért van értelme megírni egy-egy ilyen posztot, mert ha Isten, matek és tudomány egyaránt „csak" a fejünkben van, az egy érdekes és végiggondolandó helyzet. Még érdekesebbé teszi a körülmény, hogy a hívő embernek lehet olyan érvényes megfontolása, amely szerint Isten a fején kívül is létezik, ám a matekkal / tudománnyal foglalkozó embernek nem lehet ilyen érvényes megfontolása. Érdemes erre a kabátra gombot varrogatni.
Ezt a gondolatot az egészséges intellektusú, kicsit művelt ember végiggondolta gimiben, amikor filozófiatörténetből tanulta a "brain in a vat" sztorit meg Descartes gondolatmenetét, de legkésőtt akkor, amikor megnézte a moziban a Máteixot. Mikor is volt ez?
TörlésIsten fejen kívüli létezésének hajszálpontosan annyi az esélye, pont az előbbiek miatt, mint a "számok" fejen kïvûli létezésének.
Megint kerülöd az állításaid LÉNYEGÉRE vonatkozó EGYSZERŰ kérdések EGYENES megválaszolását: ki tulajdonít számosságot a valóságnak?
Ad notam: ki állítja, hogy a világegyetem szerves?
Egészséges intellektusú ember felismeri a különbséget a „brain in a vat" és a nem-brain-in-a-vat modellek között. Téged is egészséges intellektusú magatartásra biztatlak.
TörlésÚjból kezded a logikátlankodást, protokoll várható. A „ki tulajdonít számosságot a valóságnak?" kérdésed butaság, de íme egy lehetséges válasz. Mindenki számosságot tulajdonít a valóságnak, aki szilárdnak hiszi a matematikát, és nem veszi észre, hogy omlékony axiómákra és a priori agyi struktúrákra alapul, nem pedig a valóságra.
Utolsó esély számodra protokoll előtt: feltűnt a bevezető idézet? Észrevetted, hogy mások is foglalkoznak az általam felvetett problémával?
Á, értem, akkor az ateista tudósokra gondolsz.
Törlés(1) A matematikusok nem "hiszik" szilárdnak a matematikát, hanem tudják, mi az az axiomatikus gondolkodás, amely rigorózus rendszerek építését teszi lehetővé, amelyek segítségével modellezni lehet a világ jelenségeit. Az ők szemét aligha nyitod fel. (Ugyanakkor még emlékszem, amikor meggyőződéssel "tudományvallásról" beszéltél.)
(2) Senki más nem foglalkozik a matematikával olyan szinten, hogy értené, mi a szart akarsz azzal, hogy az irracionális számok ne legyenek "számok", csak "számszerű fogalmak". Ja, a szín nem feltétlenül a tárgyak inherens tulajdonsága, bár mintha nem vennéd számba a pigmentszínek és az anyagszerkezeti színek közti különbséget.
(3) Amikor arról van szó, hogy a 2 "szám", az 1/3 Szerinted már csak "számszerű fogalom" (mi ennek a haszna?), 0,33333333' Téged már zavarba ejt, az irracionális számok meg már kifejezetten gyanúsak, akkor csak a végtelenfelfogásoddal van baj: egyrészt azt hiszed, hogy a végtelen egy szám (nem az), másrészt hogy a végtelen műveleti lépés végtelen időt vesz igénybe, harmadrészt feltételezed, hogy ha felfogható/leírható nagyságrendű n páros, és n + 1 páratlan, az nem jelenti azt, hogy kellően nagy n esetében ez esetleg nem változik meg.
(4) Belinkelsz egy wiki-szöveget, amiben nincs irodalmi hivatkozás és nincs terminológiai definíció (mi az, hgy "aktuális"?). Te magad se olvastál ennél többet. Ha valaki a végtelen aktualitásáról érdemben ír, az matematikus, és kurvára nem "hisz" a matematika "szilárdságában".
Igyekszel minden rendszer (logika, matematika, ráció) "szilárdságát" támadni, hogy egy rendszer maradjon talpon: az ésszerű (racionális!), logikus (koherens!), kiszámolt vallásod, amely nem hit, hanem utilitárius választás útján lett választott mankód.
Hm... Fura, hogy amikor magyarázni akarsz másoknak, mennyire nem gondolod át, amit írsz. "A hét napjaira például könnyedén alkalmazhatjuk ezt a természetes törtet, a hét háromhetede pontosan 3 nap." -- Itt elfelejted megemlíteni, hogy kerekítesz/egyszerűsítesz, ugyanis a hét napjai nem egyforma időtartamúak, mert a Hold gravitációs hatása miatt a Föld forgása lassul saját tengelye körül, azaz a napok egyre hosszabbak (a földtörténetben voltak kb. 22 órás napok is). Természetesen a hét hossza sem állandó ugyanezen hatás miatt. Így legfeljebb azt mondhatod ki, hogy az átlagos hét 3/7-e 3 átlagos nap, vagy azt, hogy a hét 3/7-e három nap, elhanyagolva a Föld forgásának lassulását.
TörlésEz persze látszólag a Te érvelésedet erősíti: nincsenek egyforma tárgyak, még egyforma jelenségek, csillagászati események sem. Nos, az absztrakció pontosan azt a célt szolgálja, hogy a mindenkori RELEVÁNS vonatkozásokat ragadja meg. A rendőrnek az a releváns, hogy az autóban hányan ülnek, ezért akár ugyanolyan vagy, mint a feleséged és a gyerekeid, akár nem, ha heten üptök be egy ötszemélyes autóba, az bünti lesz. A liftnél más a helyzet: ott nem a személyek száma, hanem a tömegük a releváns (pl. max 500 kg), de mivel senki nem tudja, mások hány kilósak, megszabnak egy másik korlátot is (legfeljebb 6 személy, de nem több, mint 500 kg). Ilyenkor további részletszabályozás kérdése lehet, hogy hét személy beszállhat-e, ha nem nyomnak 500 kilót.
A matematika attól működik, hogy absztrahál. Ez nem hiányossága, hanem a lényege. Mindenki tudja, hogy egy papírlapot nem lehet a végtelenségig darabolni, mert egy idő után már müonokat kell darabolnunk. De ha azt mondod, hogy az 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... sorozat összes tagjának összegét nem lehet kiszámolni, akkor a valóságot (a darabolhatóságnak korlátai vannak) erőszakkal ráhúzod az absztrakt gondolkodási rendszerre, amelynek épp az a lényege, hogy elvonatkoztat a fizikai valóságtól. Ez csak hibához vezet, konkrét példát is tudok mondani: azt írtad régen, hogy a legkisebb távolságmérték legyen a legkisebb ismert részecske mérete, mert annál kisebb hosszmérték nem kell. Ezzel a megkötéssel azonban kárt teszel: ha két n méretű részecske 3n távolságra van egymástól, nincs baj, de lehetnek egymástól 3,5n vagy 3,000000005n távolságra is egymástól -- azaz a görcsös próbálkozásod, hgy a fizikai valóság korlátait ráhúzd az absztrakt matematikára, gyakorlatilag kiherüli a gondolkodást. Ez a földmérők zsarnoksága a geométerek fölött. A probléma az, hogy a matematikusok minden területre tudnak használható modellt alkotni, míg a földmérőknek fingja nincs se az ismert univerzum méreteiről, sem a szubatomi tartományról. Láncban gondolkodnak, szó szerint.
A hivatkozott Wikipédia-cikkben "a végtelen aktualitása" laikus füllel nehezen értelmezhető. Az angol "actualness" egyszerűen annyit jelent, hogy "létezik-e avagy sem".
VálaszTörlésInnen világos, hogy a kérdés valójában egyszerre két kérdés: (1) létezik-e a "végtelen" a "valóságban" (pl. végtelen-e a világegyetem, stb.); illetve (2) létezik-e a "végtelen" a matematikában.
Hogy a "valóságban" létezik-e a "végtelen", az valóban vita kérdése; jelenlegi legjobb tudásunk szerint a látható világegyetemben véges mennyiségű anyag, energia és elemi részecske van (ez abból a szempontból releváns, hogy pl. elképzelhető olyan nagy szám, amelyet végtelen idő alatt sem tudunk leírni, mert mondjuk több számjegye van, mint ahány elemi részecske a látható világegyetemben létezik, és nyilván egy számjegy leírásához nem elég egy elemi részecske).
Ugyanakkor a matematika nem így működik. A matematikai rendszereknek axiómái vannak, azaz a rendszer megalkotója dönti el, hogy egy-egy rendszerben létezik-e "végtelen" vagy sem. Ennél bonyolultabb részletezésre nincs szükség, de talán ismerős lehet, hogy az euklidészi geometriában van párhuzamossági axióma (a párhuzamosok nem találkoznak a végtelenben sem), a Bólyai-féle geometriában nincs ilyen axióma. Nem értelmezhető, hogy melyik geometria "igaz"; mind a kettő koherens önmagában és mind a kettő másra és másra jó a gyakorlati felhasználást tekintve.
Hogy mit tekintsünk számnak, az alapvetően az daott matematikai rendszert kidolgozó matematikus döntése (definíciós kérdés).
Innen egy lépés: akkor lehet véleményed arról, hogy "mit tekintsünk számnak", ha ki tudod dolgozni a saját matematikai rendszeredet és te alkotod meg annak akcióit és definícióit. Ha ezt nem tudod megtenni (és ezt nagyon szimpatikusna be is vallod), akkor matematikai értelemben teljesen fölösleges erről cikkezned. Intuícióra szükség van a matematikában is, de ha nincs elég tudásod ahhoz, hogy az eddigi matematikai rendszereket megértsd, és nem is akarod azokat meérteni (nem akarsz tanulni), akkor az "intuíció" rettenetesen veszélyes. Az autód soha nem vinnéd el olyan szerelőhöz, aki nem érti a különbséget a dízel és a benzin között, de az az intuíciója, hogy vallamilyen folyadékkal csak menni fog majd.
Lehet intuíciód a "valósággal" és a világegyetemmel kapcsolatban; sőt, arra is tehetsz javaslatot, hogy "mit nevezzünk számnak". A nyelvhasználat viszont közösségi dolog, ezért mindazok, akik értik, mi az az irracionális szám a számtanban, továbbra is számnak fogják hívni az irracionális számokat is, a komplex számokat is, a transzcendentális számokat is (stb.), mert attól, hogy te nem érted, miről beszélnek, nekik továbbra is hasznos, ha ezeket a számokat is számnak nevezik, főleg, hogy számolnak velük.
A posztjaidból kiderül, hogy az alapvető célod annak "demonstrálása" elég erőltetetten ideologikus módon, hogy a matematika nem alkalmas "mindenre" (ahogy a geometria sem, a logika sem, a ráció sem; mindezeket a témákat ugyanebből a szempontból mind körbetáncoltad). Fontos látnia annak, aki a posztjaid esetleg elolvassa, hogy a matematika pontosan tudja, mire képes és mire nem; sőt, a matematika az, ami a legkomolyabban foglalkozik a saját korlátainak a feltárásával (érdeklődők olvassanak utána Gödel nemteljességi teorémájának). A matek nem az a foci, amibe focitudás nélkül bele lehet szólni.
Azoknak, akik nem látják elég világosan, mit jelent a "végtelen sok lépésben megalkotott matematikai objektumok" kifejezés, adnék egy szemléletes példát:
VálaszTörlés(1) Vegyünk egy végtelen tagból álló összeadást: 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...
(2) Vegyük észre, hogy a nevezőben a 2 hatványai vannak (2 = 2↑1; 4 = 2↑2; 8 = 2↑3; 16 = 2↑4; stb.)
(3) Hétköznapi nyelven azt mondjuk, hogy ennek a sorozatnak az összes (végtelen) elemének az "összege" pontosan 1.
(4) Ha viszont emlékszünk a gimis matekra, akkor rémlik, hogy végtelen elemet nem tudunk összeadni, nem tudjuk "kiszámolni", mert nincs annyi idő, hogy elvégezzük az összeadást.
(5) Ez azonban nem jelenti azt, hogy nem számolható ki az "összeg"; a Youtube tele van számítási módszerekkel.
(6) A szabatosabb matematikai megfogalmazás szerint a fenti probléma miatt nem "összegről" beszélünk végtelen sok elem összeadása esetén, hanem úgy fogalmazunk, hogy hogy ha tetszőlegesen sok (n) elemet összeadunk, akkor az összegük tetszőlegesen megközelíti az 1-et, de azt nem éri el, és nem is lépi túl. Ezt nevezzük "határértéknek" és "hatérérték-számításnak". (Fontos, hogy itt mindig VÉGES elemű összeadásokról beszélünk, azzal, hogy az elemek száma tetszőlegesen nagy véges pozitív egész szám.)
(7) A szerző "intuíciója" szerint ez a határérték nem kiszámolható, ezért ne vegyük biztosra, hogy a sorozatnak tényleg van "összege" vagy "határértéke"; nem biztos, hogy a gyök kettő tényleg végtelen tizedesjegyből áll, de az se, hogy irracionális szám; ne próbáljuk meg "négyszögesíteni a kört" és "kiszámolni" a π-t.
De most nézzük meg, mi az átlagember intuíciója (lásd a következő kommentet).
(8) Vegyünk egy pizzát. Egy pizza az egy pizza: 1 = (1).
VálaszTörlés(9) Most vágjuk ketté: 1 = (1/2 + 1/2).
(10) Most a második felét vágjuk ketté: 1 = 1/2 + (1/4 + 1/4).
(11) Most a két negyedpizza egyikét vágjuk ketté: 1 = 1/2 + 1/4 + (1/8 + 1/8).
(12) Most a két nyolcadpizza egyikét vágjuk ketté: 1 = 1/2 + 1/4 + 1/8 + (1/16 + 1/16).
(13) Most pedig engedjük szabadjára a matematikai képzelőerőnket: ha FIZIKAILAG nem lenne korlát (pl. az, hogy van olyan pici pizzadarab, amely már csak egy vízmolekula, és azt már nem lehet pizzának nevezni; vagy az, hogy egy idő után már morzsálódik a pizzadarabka a kés alatt, stb.), akkor meddig tudnánk ezt folytatni, meddig tudnánk mindig kettévágni az utolsó két, egyforma méretű pizzaszelet közül az egyiket?
A válasz nyilvánvalóan az, hogy ha nem lenne fizikai korlát, akkor tetszőleges számú (n) vágást eszközölhetnénk, és mindig azt találnánk, hogy az egy pizzát úgy osztottuk fel, hogy az alábbi darabokból áll:
1 = 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ... + (1/2↑n + 1/2↑n), ahol az "n" egy tetszőlegesen nagy pozitív egész szám (de nem végtelen).
(14) Ha most megnézzük, mi volt az az összeadás, amely a blogíró szerint nem végezhető el, mert nincs rá elég idő, az így nézett ki:
1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16 + ...
Ugye, látjuk, hogy mi az összefüggés?
Ha végtelen darab elemet kell összeadnunk papíron, arra a blog írója azt mondja, az összeg "kiszámíthatatlan".
Ugyanakkor ha a fizikai korlátoktól eltekintünk, mindannyian beláthatjuk, hogy ha egy pizzát kettévágunk, majd az egyik felét újra kettévágjuk (negyedekre), és folytatjuk a darabolást vágásig, akkor minden egyes lépés után egy olyan sorozat fog előttünk állni, amelynek első eleme egy fél pizza (1/2), a második annak fele (1/4), a harmadik annak fele (1/8), és így tovább tetsződlegesen nagy számú (n) vágásig.
Azt is látjuk, hogy akárhányszor vágjuk el az utolsó darabot kettőbe, az eredmény mindig az, hogy a sor végén két egyforma pizzadarab marad (1/2↑n + 1/2↑n)... amíg el nem vágjuk kettőbe azt is.
(Folyt. a következő kommentben.)
(15) Ezen a ponton csupán azt kell belátnunk, hogy:
VálaszTörlés-- ha az 1 pizza (a fizikai korlátoktól eltekintve) x vágás után (x+1) darabból áll, hiszen 0 vágás után 1 darabból állt, 1 vágás után 2 darabból, 2 vágás után 3 darabból áll és így tovább,
-- akkor nyilvánvaló, hogy a tetszőlegesen nagy (n) számú vágás után is ugyanaz az 1 pizza lesz az asztalon, csak egyre több darabban;
-- ha a tetszőlegesen nagy (n) számú vágással kapott összes darabkát összeadjuk (mert véges elemről beszélünk, azaz összeadhatóak), akkor minden esetben 1 pizza jön ki.
Azaz tény, hogy egy pizzát nem lehet (fizikai korlátok miatt) ténylegesen végtelen darabra vágni, ugyanakkor egy gimnazista is képes belátni, hogy a fizikai korlátoktól eltekintve a darabolás elvégezhető tetszőlegesen nagy (n) számú műveletben, és mindig ugyanaz az 1 pizza lesz ott az asztalon egyre több darabra vágva.
A darabok összege leírható így:
1 pizza = 1/2↑1 + 1/2↑2 + 1/2↑3 + 1/2↑4 + ... + (1/2↑n + 1/2↑n) pizza.
Azaz hiába van igaza a blog szerzőjének abban, hogy a gyakorlatban nem lehet végtelen vágást megejteni, az belátható, hogy ha a fizikai korlátoktól eltekintünk, a vágások számától függetlenül mindig ugyanaz az egy pizza van az asztalon, azaz belátjuk, hogy a félpizza plusz negyedpizza plusz nyolcadpizza... stb. nyilvánvalóan az eredeti egy pizzából jött ki, azaz az összeg (végtelen sorozatra értelmezve: a határérték) nem lehet más, mint 1.
A blogszerző javaslata, hogy a csak végtelen művelettel kiszámolható számokat ne nevezzük "számnak", semmilyen gyakorlati hasznot nem hoz, az elméletet pedig csak megbonyolítja, mert a végtelen tizedestörteket vagy az irracionális számokat nevezhetnénk Pistának is, attól nem változna semmilyen tulajdonságok. A szerző javaslata értelmetlen.
Attól eltekintve, hogy a szerző arról szeretne meggyőzni minket, hogy nem lehet kiszámolni, hogy egy feldarabolt pizza darabjait összeadva hány pizzát kapunk.
Idézem a poszt két fontos állítását, melyek közül csak az egyik az enyém, a másik Kanté: 1. "írásom inkább intuitív problémafelvetés, mint módszeres problémamegoldás"; 2. "egyes dolgokat bizonyítás nélkül nyilvánvalóként, azaz a priori elfogadunk. Ilyen a priori belátás, hogy 1+1=2. Ha az agyunk másképp működne, és nem látnánk be ezt a priori alapon, akkor semmiféle módon nem tudnánk bebizonyítani".
TörlésEz a problémakör sokkal filozófiaibb, és sokkal messzebb vezet, mint hogy egy elméleti pizza darabolásával meg lehetne oldani. Ha Kantnak igaza van, mármint hogy semmiképpen nem bizonyítható gyakorlati adattal az 1+1=2, mégis mindenki belátja és bizonyosnak tekinti, akkor a számosságkoncepció egésze paradox. (Amit nem tudunk gyakorlati adattal igazolni, azt nem kellene bizonyosnak tekintenünk.) Ha Kantnak nincs igaza, akkor meg azt kellene kifejteni, hogy miért és mennyiben nincs. Nem a poszt szerzőjével keveredsz tehát vitába, hanem Kanttal.